Question

（本題12分）已知數列{a_n}中，a₁=0，a₂ =4，且a_n+2-3a_n+1+2a_n= 2ⁿ⁺¹（），
數列{b_n}滿足b_n=a_n+1-2a_n．
（Ⅰ）求證:數列{-}是等比數列；
（Ⅱ）求數列{}的通項公式；
（Ⅲ）求．

Answer 1

解：（Ⅰ）由a_n+2-3a_n+1+2a_n= 2ⁿ⁺¹ 得（a_n+2-2a_n+1）-（ a_n+1-2a_n）= 2ⁿ⁺¹；
即  b_n+1-b_n = 2ⁿ⁺¹，而 b₁=a₂-2a₁=4， b₂ =b₁+2²=8；
∴ { b_n+1-b_n}是以4為首項，以2為公比的等比數列．…………………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ），b_n+1-b_n = 2ⁿ⁺¹， b₁=4，
∴ b_n = （b_n-b_n-1）+ （b_n-1-b_n-2）+···+（b₂-b₁） + b₁
=2ⁿ + 2^n-1 +···+2² +4 = 2ⁿ⁺¹．            ………………………6分
即 a_n+1-2a_n=2ⁿ⁺¹，∴；
∴ {}是首項為0，公差為1的等差數列，
則，∴．        ………………………9分
（Ⅲ）∵，
∴．    ………………………12分

略