Question

已知

a

=(2sinx，cosx+sinx)，

b

=(cosx，cosx-sinx)，函數f(x)=

a

•

b

，
（1）求函數的解析式及函數的最小正周期；
（2）求函數f（x）在[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）通過向量的數量積以及二倍角公式化簡函數為 一個角的一個三角函數的形式，，然后求出最小正周期．
（2）根據x的范圍，求出2x+

π

4

的范圍，利用三角函數的有界性，求出函數的值域．

解答：解：（1）∵f(x)=

a

•

b

=2sinxcosx+cos²x-sin²x=sin2x+cos2x
=

2

sin(2x+

π

4

)
∴f（x）=

2

sin（2x+

π

4

），且函數的最小正周期為π．
（2）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]    
∴sin（2x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
故：函數f（x）在[0，

π

2

]上的值域為[-1，

2

]．

點評：本題考查三角函數中的恒等變換應用，平面向量數量積坐標表示的應用，三角函數的周期性及其求法，考查計算能力．