Question

已知直線l過(guò)點(diǎn)P（1，1），并與直線l₁：x-y+3=0和l₂：2x+y-6=0分別交于點(diǎn)A、B，若線段AB被點(diǎn)P平分．
求：
（1）直線l的方程；
（2）以O(shè)為圓心且被l截得的弦長(zhǎng)為

8

5

5

的圓的方程．

Answer 1

分析：（1）依題意可設(shè)A（m，n）、B（2-m，2-n），分別代入直線l₁ 和l₂的方程，求出m=-1，n=2，用兩點(diǎn)式求直線的方程．
（2）先求出圓心（0，0）到直線l的距離d，設(shè)圓的半徑為R，則由R2=d2+(

4 5

5

)2，求得R的值，即可求出圓的方程．

解答：解：（1）依題意可設(shè)A（m，n）、B（2-m，2-n），則

m-n+3=0 2(2-m)+(2-n)-6=0

，即

m-n=-3 2m+n=0

，解得m=-1，n=2．
即A（-1，2），又l過(guò)點(diǎn)P（1，1），用兩點(diǎn)式求得AB方程為

y-1

2-1

=

x-1

-1-1

，即：x+2y-3=0．
（2）圓心（0，0）到直線l的距離d=

|0+0-3|

1+4

=

3

5

，設(shè)圓的半徑為R，則由 R2=d2+(

4 5

5

)2，
求得R²=5，故所求圓的方程為x²+y²=5．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，用兩點(diǎn)式求直線的方程，屬于中檔題．