Question

（理科）若函數f（x）滿足f(x)+1=

1

f(x+1)

，當x∈[0，1]時，f（x）=x，若在區間（-1，1]上，g（x）=f（x）-mx-m有兩個零點，則實數m的取值范圍是

(0，

1

2

]

．

Answer 1

分析：確定分段函數的解析式，分別研究它們的零點，即可得到結論．

解答：解：①x∈[0，1]時，f（x）=x，g（x）=x-mx-m，要使g（x）有零點，則必須有g（0）g（1）＜0，即m（2m-1）＜0，∴0＜m＜

1

2

，
若m=0，g（x）=x，有一個零點0；若m=

1

2

，g（x）=

x

2

-

1

2

，有一個零點1，∴m∈[0，

1

2

]
②x∈（-1，0）時，x+1∈（0，1），f（x+1）=x+1，f（x）=

1

x+1

-1=-

x

x+1

，g（x）=-

x

x+1

-mx-m，g（0）=-m
g'（x）=

-1-m(x+1)2

(x+1)2

m=0，g（x）單調減，g（0）=0，此時無零點
若m＞0，則g′（x）＜0恒成立，x∈（-1，0）時，x→-1，g（x）→+∞，x→0，g（x）=-m＜0
∴此時在（-1，0 ）上必然有一個零點
若m＜0，令g′（x）=0，考慮到x∈（-1，0 ），此時沒有零點，
綜上所述：0＜m≤

1

2

故答案為：(0，

1

2

]

點評：本題考查分段函數的解析式，考查函數的零點，解題的關鍵是確定分段函數的解析式．