Question

【題目】已知函數.

（1）若在處的切線與直線垂直，求的極值；

（2）若函數的圖象恒在直線的下方.

①求實數的取值范圍；

②求證:對任意正整數，都有.

Answer 1

【答案】（1）極大值為，無極小值； （2）①；②見解析 .

【解析】

（1）利用導數的幾何意義，根據根據在處的切線與直線垂直，求得m，確定函數再求極值.

（2）①根據函數的圖象恒在直線的下方，則有 ，即在上恒成立，轉化為恒成立，令求其最大值即可.

（1）由

可得，

所以，即.

則，，

令可得，

當時，，當時，.

在上單調遞減，在上單調遞增，

的極大值為，無極小值.

（2）①由條件可知：只需，即在上恒成立.

即，而，，恒成立.

令，則，

令可得.

當時，當時，，

在上單調遞增，在上單調遞減，

故的最大值為，，

即實數的取值范圍是.

②由①可知，時，，即對任意的恒成立.

令，則，，

即，

.