Question

【題目】已知函數在區間上的最大值為4，最小值為1，記為.

（1）求實數，的值；

（2）若不等式成立，求實數的取值范圍；

（3）對于任意滿足的自變量，，，…，，如果存在一個常數，使得定義在區間上的一個函數，恒成立，則稱函數為區間上的有界變差函數，試判斷函數是否是區間上的有界變差函數，若是，求出的最小值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2），，；（3）函數為區間，上的有界變差函數． 的最小值為4．

【解析】

（1）由的對稱軸得在區間，上是增函數，得方程組求出，即可；（2）由（1）求出的表達式，解不等式求出即可；（3）由的表達式得為，上的單調遞增函數，根據有界變差函數的概念求出即可．

（1），

又，在區間，上是增函數，

故，

解得，．

（2）由（1）得：，

故是偶函數，

不等式（2）可化為，

解得，，．

（3），

為，上的單調遞增函數，

則對于任意滿足，的自變量，，，，，

有（1）（3），

（3）（1）

，

存在常數，使得．

所以函數為區間，上的有界變差函數．即的最小值為4．