【題目】已知集合
，且
中的元素個數
大于等于5.若集合中存在四個不同的元素
，使得
，則稱集合是“關聯的”，并稱集合
是集合的“關聯子集”；若集合不存在“關聯子集”，則稱集合是“獨立的”.
分別判斷集合
和集合
是“關聯的”還是“獨立的”？若是“關聯的”，寫出其所有的關聯子集；
已知集合
是“關聯的”，且任取集合
，總存在的關聯子集
，使得
.若
，求證：
是等差數列；
集合是“獨立的”，求證：存在
，使得
.
【答案】
是關聯的，關聯子集有
；
是獨立的；
證明見解析；
證明見解析
【解析】
（1）根據題中所給的新定義，即可求解；
（2）根據題意，
，
，
，
， 
，進而利用反證法求解；
（3）不妨設集合
，
，且
.
記
，進而利用反證法求解；
解:是“關聯的”關聯子集有;
是“獨立的”
記集合
的含有四個元素的集合分別為:
，，，，
.
所以，至多有
個“關聯子集”.
若為“關聯子集”，則不是 “關聯子集”，否則
同理可得若為“關聯子集”，則
不是 “關聯子集”.
所以集合沒有同時含有元素
的“關聯子集”，與已知矛盾.
所以一定不是“關聯子集”
同理一定不是“關聯子集”.
所以集合的“關聯子集”至多為
.
若
不是“關聯子集”，則此時集合一定不含有元素
的“關聯子集”，與已知矛盾；
若
不是“關聯子集”，則此時集合一定不含有元素
的“關聯子集”，與已知矛盾；
若
不是“關聯子集”，則此時集合一定不含有元素
的“關聯子集”，與已知矛盾；
所以都是“關聯子集”
所以有
，即
，即
.
，即
，
所以
.
所以
是等差數列.
不妨設集合，，且.
記.
因為集合是“獨立的”的，所以容易知道
中恰好有
個元素.
假設結論錯誤，即不存在
，使得
所以任取，
，因為
，所以
所以
所以任取
，
任取
，
所以
，且中含有個元素.
(i)若
，則必有
成立.
因為
，所以一定有
成立.所以
.
所以
，
，
所以
，所以
，
有矛盾，
(ii)若
，
而中含有個元素，所以
所以，
因為，所以
.
因為
，所以
所以
所以
，矛盾.
所以命題成立.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】黃岡“一票通”景區旅游年卡，是由黃岡市旅游局策劃，黃岡市大別山旅游公司推出的一項惠民工程.持有旅游年卡一年內可不限次暢游全市19家簽約景區.為合理配置旅游資源，現對已游覽某簽約景區的游客進行滿意度調查.隨機抽取100位游客進行調查評分（滿分100分），評分的頻率分布直方圖如圖.
（1）求a的值并估計評分的平均數；
（2）為了了解游客心聲，調研機構用分層抽樣的方法從評分為
，
的游客中抽取了6名，聽取他們對該景區建設的建議.現從這6名游客中選取2人，求這2人中至少有一個人的評分在內的概率；
（3）為更廣泛了解游客想法，調研機構對所有評分從低到高排序的前86%游客進行了網上問卷調查并隨調查表贈送小禮品，估計收到問卷調查表的游客的最高分數.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，若同時滿足以下條件：
①
在D上單調遞減或單調遞增；
②存在區間
，使在
上的值域是，那么稱
為閉函數．
（1）求閉函數
符合條件②的區間 ；
（2）判斷函數
是不是閉函數？若是請找出區間；若不是請說明理由；
（3）若
是閉函數，求實數
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
在區間
上的最大值為4，最小值為1，記為
.
（1）求實數
，
的值；
（2）若不等式
成立，求實數
的取值范圍；
（3）對于任意滿足
的自變量
，
，
，…，
，如果存在一個常數
，使得定義在區間
上的一個函數
，
恒成立，則稱函數為區間上的有界變差函數，試判斷函數
是否是區間
上的有界變差函數，若是，求出
的最小值；若不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
是
上的偶函數，對于
都有
成立，且
，當
，
，且
時，都有
.則給出下列命題：①
；②
為函數圖象的一條對稱軸；③函數在
上為減函數；④方程
在
上有4個根；其中正確的命題個數為（ ）
A.1B.2C.3D.4
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】王老師是高三的班主任，為了在寒假更好的督促班上的學生完成學習作業，王老師特地組建了一個QQ群，群的成員由學生、家長、老師共同組成.已知該QQ群中男學生人數多于女學生人數，女學生人數多于家長人數，家長人數多于教師人數，教師人數的兩倍多于男學生人數.則該QQ群人數的最小值為（ ）
A.20B.22C.26D.28
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某健身館在2019年7、8兩月推出優惠項目吸引了一批客戶.為預估2020年7、8兩月客戶投入的健身消費金額，健身館隨機抽樣統計了2019年7、8兩月100名客戶的消費金額，分組如下：
，
，
，…，
（單位：元），得到如圖所示的頻率分布直方圖：
（1）請用抽樣的數據預估2020年7、8兩月健身客戶人均消費的金額（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；
（2）若把2019年7、8兩月健身消費金額不低于800元的客戶，稱為“健身達人”，經數據處理，現在列聯表中得到一定的相關數據，請補全空格處的數據，并根據列聯表判斷是否有
的把握認為“健身達人”與性別有關？
健身達人 | 非健身達人 | 總計 | |
男 | 10 | ||
女 | 30 | ||
總計 |
（3）為吸引顧客，在健身項目之外，該健身館特別推出健身配套營養品的銷售，現有兩種促銷方案.
方案一：每滿800元可立減100元；
方案二：金額超過800元可抽獎三次，每次中獎的概率為
，且每次抽獎互不影響，中獎1次打9折，中獎2次打8折，中獎3次打7折.
若某人打算購買1000元的營養品，請從實際付款金額的數學期望的角度分析應該選擇哪種優惠方案.
附：
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 | |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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