Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為、，焦點為的拋物線的準線被橢圓截得的弦長為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若點、到直線的距離之積為，求證：直線與橢圓相切．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據拋物線的焦點坐標，求得，根據題意可得知點在橢圓上，利用橢圓的定義可求出的值，進而得出的值，即可求得橢圓的標準方程；

（2）根據（1）中的橢圓方程，求得兩個焦點，利用點到直線的距離公式求得和的關系，再將直線方程代入橢圓方程，計算出，即可證明直線與橢圓相切．

（1）設橢圓的焦距為，

拋物線的焦點為，則，拋物線的準線方程為，

由于拋物線的準線被橢圓截得的弦長為，則點在橢圓上，

由橢圓的定義得，，則，

因此，橢圓的標準方程為；

（2）點到直線的距離，點到直線的距離為，

則.

①若，則，顯然不成立；

②若，則.

將直線的方程與橢圓的方程聯立，

消去得，

則，

因此，直線與橢圓相切.