Question

 (本小題滿分12分)已知中心在原點的橢圓的離心率，一條準線方程為

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若以＞0)為斜率的直線與橢圓相交于兩個不同的點，且線段的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）因為橢圓的離心率，一條準線方程為.應用待定系數求得橢圓的標準方程.

（2）假設直線（）方程.其中有兩個參數.聯立橢圓方程.消去即可得一個關于的二次方程.首先由二次方程根的判別式大于零可得一個關于的不等的關系式.其次由韋達定理寫出兩個根與的關系式.寫出線段的中垂線的方程.從而可得中垂線與兩坐標軸的截距.再寫出垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積，依題意即可得一個關于的等式.由這兩步消去.即可得的取值范圍.

試題解析：（1）由已知設橢圓的標準方程為，　　＞＞0）

由題設得解得　，

所以橢圓的標準方程為       4分

（2）由題意設直線的方程為　　　（＞0）

由　消去得　　①

設　　則，＝

線段的中點坐標滿足　　

　　

從而線段的垂直平分線的方程為

此直線與軸，軸的交點坐標分別為、

由題設可得　整理得　　（＞0）　　②

由題意在①中有　＞0　　整理得＞0

將②代入得　　＞0　（＞0），

　即　＞0，　＜0，即＜0

∴＜＜4　　　　所以的取值范圍是。     12分

考點：1.待定系數求橢圓的方程.2.直線與橢圓的位置關系.3.線段的垂直平分線.4.方程與不等式轉化的思想.