Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的零點個數；

（2）若（為給定的常數，且），記在區間上的最小值為，求證：.

Answer 1

【答案】（1）①當時，無零點；②當時，有一個零點；③當時，有兩個零點；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據解析式求得導函數，并令求得極值點.在極值點兩側，判斷導函數的符號，并求得最小值.結合當及時函數值特征，即可確定零點個數.

（2）根據及，可得.進而確定的表達式，代入不等式化簡變形，并令，構造函數，求得后由導函數符號判斷的單調性及最值，即可證明不等式成立.

（1）函數，

則，

令，解得，

當時，，所以在為單調遞減；

當時，，所以在為單調遞增；

所以，

當時；

當時；

①當，即時，無零點；

②當，即時，有一個零點；

③當，即時，有兩個零點；

（2）證明：因為，

所以，

由（1）可知在區間上的最小值，

，

所以不等式可化為

，

移項化簡可得，

所以，

即，

令，則.

所以原不等式可化為，

令.

則，

所以在單調遞減，

則，

即成立，

原不等式得證.