Question

已知離心率為

1

2

的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1過（1，

3

2

）
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在實數m，使得在此橢圓C上存在不同兩點關于直線y=4x+m對稱，若存在請求出m，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由離心率為

1

2

的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1過（1，

3

2

），知

c a = 1 2 1 a2 + 9 4 b2 =1 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）假設存在實數m，使得在此橢圓C上存在不同兩點關于直線y=4x+m對稱．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點M（x₀，y₀），因為在此橢圓C上存在不同兩點關于直線y=4x+m對稱，所以kAB=

y2-y1

x2-x1

=-

1

4

，再用點差法進行求解．

解答：解：（1）∵離心率為

1

2

的橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1過（1，

3

2

），
∴

c a = 1 2 1 a2 + 9 4 b2 =1 a2=b2+c2

，解得a²=4，b²=3，c²=1，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（2）假設存在實數m，使得在此橢圓C上存在不同兩點關于直線y=4x+m對稱．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點M（x₀，y₀），
∵在此橢圓C上存在不同兩點關于直線y=4x+m對稱，
∴kAB=

y2-y1

x2-x1

=-

1

4

，
∵3x12+4y12=12，3x22+4y22=12，
相減得3(x22-x12)+4(y22-y12)=0，即y₁+y₂=3（x₁+x₂），
∴y₀=3x₀，3x₀=4x₀+m，x₀=-m，y₀=-3m
而M（x₀，y₀）在橢圓內部，則

m2

4

+

9m2

3

＜1，即-

2 3

13

＜m＜

2 3

13

．
故存在實數m∈（-

2 3

13

，

2 3

13

），使得在此橢圓C上存在不同兩點關于直線y=4x+m對稱．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法，綜合性強，難度大，具有一定的探索性，對數學思維的要求較高．解題時要注意等價轉化思想的合理運用．