Question

【題目】已知二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）﹣f（x）=4x，且f（0）=1．
（1）求二次函數(shù)f（x）的解析式．
（2）求函數(shù)g（x）=（ ）f（x）的單調(diào)增區(qū)間和值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）．

∵f（0）=1，∴c=1．把f（x）的表達(dá)式代入f（x+1）﹣f（x）=4x，有

a（x+1）2+b（x+1）+1﹣（ax2+bx+1）=4x．

∴2ax+a+b=4x．∴a=2，b=﹣2．

∴f（x）=2x2﹣2x+1

（2）解：g（x）=（ ）f（x）= ，

令t=2x2﹣2x+1，則t=2x2﹣2x+1=2（x﹣ ）2+

此時(shí)y=（ ）t為減函數(shù)，

當(dāng)x≥ 時(shí)，函數(shù)t=2x2﹣2x+1為增函數(shù)，此時(shí)g（x）為減函數(shù)，即函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞， ]，

當(dāng)x≤ 時(shí)，函數(shù)t=2x2﹣2x+1為減函數(shù)，此時(shí)g（x）為增函數(shù)，即函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為[ ，+∞），

∵t=2x2﹣2x+1=2（x﹣ ）2+ ≥ ，

∴0＜（ ）t≤=（ ） = ，

即函數(shù)的值域?yàn)椋?， ]

【解析】（1）利用待定系數(shù)法即可求二次函數(shù)f（x）的解析式．（2）利用換元法結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系結(jié)合一元二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減．