Question

已知數列{a_n}是等差數列，a₂=6，a₅=18，數列{b_n}的前n項和為T_n，且．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式及其前n項和M_n；
（Ⅱ）求證數列{b_n}是等比數列，并求出其通項公式與前n項和T_n公式；
（III）記c_n=a_n•b_n，求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）設數列{a_n}的公差為d，
由a₂=6，a₅=18，
可得a₁+d=6，a₁+4d=18，
解得a₁=2，d=4．
從而a_n=4n-2，M_n=2n²
（Ⅱ）由，
令n=1，則，可得．
當n≥2時，，，
兩式相減得．
可得．
所以數列{b_n}是等比數列．
可得，．…（8分）
（Ⅲ）由．
則．．
兩式相減得．
整理得
分析：（Ⅰ）設數列{a_n}的公差為d，由a₂=6，a₅=18，可求首項及公差，進而可求通項公式及前n項和
（Ⅱ）由，令n=1，可求．當n≥2時，由，可得，兩式相減得．即，利用等比數列的通項公式及前n項和公式可求
（III）由（I）（II）可得，，故考慮利用錯位相減求數列的和
點評：本題主要考查了利用基本量求解等差數列的通項公式及數列的和，及利用遞推關系構造等比數列求解數列的通項公式，本題的難點在于（III）的錯位相減求解數列的和