Question

（2013•成都一模）對于實數a，b，定義運算?：a?b=

a，a-b≤0 b，a-b＞0

設函數f（x）=（x²-x+1）?（2x-1），其中x∈R
（I）求f（

3

）的值；
（II）若1≤x≤2，試討論函數h（x）=

2

3

xf(x)+

1

6

x2-

5

3

x+t（t∈R）的零點個數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過求解不等式得到x²-x+1≤2x-1和x²-x+1＞2x-1的x的取值范圍，從而寫出分段函數f（x），直接代入后可求f（

3

）的值；
（Ⅱ）求函數h（x）=

2

3

xf(x)+

1

6

x2-

5

3

x+t（t∈R）的零點個數，即求函數y=

2

3

xf(x)+

1

6

x2-

5

3

x與函數y=x的交點個數，把函數f（x）的解析式代入后利用導數分析函數y=

2

3

xf(x)+

1

6

x2-

5

3

x的極值點的情況，根據函數極值點的情況可得函數y=

2

3

xf(x)+

1

6

x2-

5

3

x與函數y=x的交點個數，從而得到函數h（x）=

2

3

xf(x)+

1

6

x2-

5

3

x+t（t∈R）的零點個數．

解答：解：（Ⅰ）由x²-x+1≤2x-1，即x²-3x+2≤0，解得：1≤x≤2，此時f（x）=x²-x+1；
由x²-x+1＞2x-1，即x²-3x+2＞0，解得：x＜1或x＞2．
∴f(x)=

x2-x+1，1≤x≤2 2x-2，x＜1或x＞2

．
∴f(

3

)=(

3

)2-

3

+1=4-

3

．
（Ⅱ）當1≤x≤2時，f（x）=x²-x+1，
h(x)=

2

3

xf(x)+

1

6

x2-

5

3

x+t=

2

3

x(x2-x+1)+

1

6

x2-

5

3

x+t=

2

3

x3-

1

2

x2-x+t．
令g(x)=

2

3

x3-

1

2

x2-x，
則函數h（x）的零點個數，即為函數y=g（x）與函數y=-t的交點個數．
由g^′（x）=2x²-x-1=（2x+1）（x-1）．
當x∈（1，2）時，g^′（x）＞0，∴g（x）在（1，2）上單調遞增．
又g(1)=

2

3

×13-

1

2

×12-1=-

5

6

，g(2)=

2

3

×23-

1

2

×22-2=

4

3

．
∴當-

5

6

≤-t≤

4

3

，即-

4

3

≤t≤

5

6

時，函數h（x）有一個零點；
當-t＜-

5

6

或-t＞

4

3

，即t＞

5

6

或t＜-

4

3

時，函數h（x）沒有零點．
綜上所述，當-

4

3

≤t≤

5

6

時，函數h（x）有一個零點；
當t＞

5

6

或t＜-

4

3

時，函數h（x）沒有零點．

點評：本題考查了利用導數研究函數的極值，考查了函數零點個數的判斷，一個函數零點的個數，就是該函數對應的方程的根的個數，此類問題往往轉化為另外兩個函數交點的個數來解決，是中檔題．