Question

橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸，它的短軸長為2，過焦點與x軸垂直的直線與橢圓C相交于A，B兩點且|AB|=1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過定點N（1，0）的直線l交橢圓C于C、D兩點，交y軸于點P，若

PC

=λ1

CN

，

PD

=λ2

DN

，求證：λ₁+λ₂為定值．

Answer 1

（Ⅰ）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1．
令x=-c，代入橢圓方程得，y=±

b2

a

．
所以2×

b2

a

=1，2b=2，
解得a=2，b=1．
∴橢圓的標準方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）設直線l的方程為x=my-1，則P點坐標為（0，

1

m

）
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
聯立直線與橢圓的方程

x=my-1 x2 4 +y2=1

，得（m²+4）y²-2my-3=0，
∴y₁+y₂=

2m

m2+4

，y₁y₂=

-3

m2+4

又∵

PC

=λ1

CN

，

PD

=λ2

DN

，
∴λ₁=

1 m -y1

y1

，λ₂=

1 m -y2

y2

，
∴λ₁+λ₂=

1 m -y1

y1

+

1 m -y2

y2

=

1

my1

+

1

my2

-2=

y1+y2

my1y2

-2=-

2

3

-2=-

8

3

即λ₁+λ₂為定值