Question

已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上且過點P，離心率是.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)直線l過點E (－1,0)且與橢圓C交于A，B兩點，若|EA|＝2|EB|，求直線l的方程．

 

Answer 1

（1）＋y2＝1（2）x＋6y＋＝0和x－6y＋＝0.

【解析】(1)設橢圓C的標準方程為＝1(a＞b＞0)．由已知可得，

解得a2＝4，b2＝1.

故橢圓C的標準方程為＋y2＝1.

(2)由已知，若直線l的斜率不存在，則過點E(－1,0)的直線l的方程為x＝－1，此時令A，B，顯然|EA|＝2|EB|不成立．

若直線l的斜率存在，則設直線l的方程為y＝k(x＋1)．則，

整理得(4k2＋1)x2＋8k2x＋4k2－4＝0.

由Δ＝(8k2)2－4(4k2＋1)(4k2－4)＝48k2＋16＞0.

設A(x1，y1)，B(x2，y2)．

故x1＋x2＝－，① x1x2＝.②

因為|EA|＝2|EB|，即x1＋2x2＝－3.③

①②③聯立解得k＝±.

所以直線l的方程為x＋6y＋＝0和x－6y＋＝0