Question

已知△ABC頂點B(-

a

2

，0)，C(

a

2

，0)（a＞0），點A滿足sinC-sinB=

1

2

sinA，則頂點A的軌跡方程是（　�。�

• A、

  16

  a2

  x2-

  16

  3a2

  y2=1
• B、

  16

  3a2

  x2-

  16

  a2

  y2=1
• C、

  16

  a2

  x2-

  16

  3a2

  y2=1(x＞

  a

  4

  )
• D、

  16

  3a2

  x2-

  16

  a2

  y2=1(x＞

  3 a

  4

  )

Answer 1

分析：利用正弦定理可得A是以B，C為焦點的雙曲線的右支（除去三點共線情況），根據△ABC頂點B(-

a

2

，0)，C(

a

2

，0)（a＞0），可得頂點A的軌跡方程．

解答：解：∵點A滿足sinC-sinB=

1

2

sinA，∴由正弦定理可得AB-AC=

1

2

BC，
∴A是以B，C為焦點的雙曲線的右支（除去三點共線情況），
∵△ABC頂點B(-

a

2

，0)，C(

a

2

，0)（a＞0），
∴頂點A的軌跡方程是

16

a2

x2-

16

3a2

y2=1（x＞

a

4

），
故選C．

點評：本題考查雙曲線的定義，考查雙曲線的標準方程，考查學生的轉化能力，屬于中檔題．