【題目】設
，函數
.
（1）求函數
的單調增區間；
（2）試討論函數的零點個數.
【答案】（1）見解析（2）2
【解析】
（1）通過導函數的正負來判斷
的單調增區間（2）討論參數
，利用求導來判斷函數的單調性，然后再通過最小值和
的比較來判斷零點.
（1）若
，
，函數定義域為
當
時，單調遞減；當
時，單調遞增.
若
，
，
，根據函數定義域知.
若
，
，則有
，此時單調遞增.
若
，當
時，有
，此時單調遞減；
當
時，有，此時單調遞增.
綜上，若，單調遞增區間為
，
若，單調遞增區間為，
若，單調遞增區間為
.
（2）若，有最小值
，此時有一個零點.
若，
.
又因為單調遞增，所以只有一個零點.
若，
是的最小值點，
當
時，
，不存在零點.
當
時，
，有一個零點.
當
時，
，而
.并且當
時，有，此時單調遞減，故在
必存在一個零點.
而
， 當
時，有，此時單調遞增.故在必存在一個零點.
綜上，有兩個零點.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】超級病菌是一種耐藥性細菌，產生超級細菌的主要原因是用于抵抗細菌侵蝕的藥物越來越多，但是由于濫用抗生素的現象不斷的發生，很多致病菌也對相應的抗生素產生了耐藥性，更可怕的是，抗生素藥物對它起不到什么作用，病人會因為感染而引起可怕的炎癥，高燒、痙攣、昏迷直到最后死亡.某藥物研究所為篩查某種超級細菌，需要檢驗血液是否為陽性，現有n（
）份血液樣本，每個樣本取到的可能性均等，有以下兩種檢驗方式：
（1）逐份檢驗，則需要檢驗n次；
（2）混合檢驗，將其中k（
且
）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，若檢驗結果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數總共為
次，假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為p（
）.
（1）假設有5份血液樣本，其中只有2份樣本為陽性，若采用逐份檢驗方式，求恰好經過2次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率；
（2）現取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為
，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為
.
（i）試運用概率統計的知識，若
，試求p關于k的函數關系式
；
（ii）若
，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數的期望值比逐份檢驗的總次數期望值更少，求k的最大值.
參考數據：
，
，
，
，
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，以
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線
的極坐標方程為
，曲線
的極坐標方程為
，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求與的直角坐標方程；
（2）若與的交于
點，與交于
、
兩點，求
的面積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，函數
在點
處的切線斜率為0.
（1）試用含有
的式子表示
，并討論的單調性；
（2）對于函數圖象上的不同兩點
，
，如果在函數圖象上存在點
，使得在點
處的切線
，則稱
存在“跟隨切線”.特別地，當
時，又稱存在“中值跟隨切線”.試問：函數上是否存在兩點
使得它存在“中值跟隨切線”，若存在，求出的坐標，若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知動點
到定點
的距離比到
軸的距離多
.
（1）求動點的軌跡
的方程；
（2）設
，
是軌跡在
上異于原點
的兩個不同點，直線
和
的傾斜角分別為
和
，當，變化且
時，證明：直線
恒過定點，并求出該定點的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2019年安慶市在大力推進城市環境、人文精神建設的過程中，居民生活垃圾分類逐漸形成意識.有關部門為宣傳垃圾分類知識，面向該市市民進行了一次“垃圾分類知識"的網絡問卷調查，每位市民僅有一次參與機會，通過抽樣，得到參與問卷調查中的1000人的得分數據，其頻率分布直方圖如圖：
（1）由頻率分布直方圖可以認為，此次問卷調查的得分Z服從正態分布
，
近似為這1000人得分的平均值（同一組數據用該區間的中點值作代表），利用該正態分布，求P（
）；
（2）在（1）的條件下，有關部門為此次參加問卷調查的市民制定如下獎勵方案：
（i）得分不低于可獲贈2次隨機話費，得分低于則只有1次：
（ii）每次贈送的隨機話費和對應概率如下：
贈送話費（單位：元） | 10 | 20 |
概率 |
|
|
現有一位市民要參加此次問卷調查，記X（單位：元）為該市民參加問卷調查獲贈的話費，求X的分布列.附：
，若
，則
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】秉承“綠水青山就是金山銀山”的發展理念，某市環保部門通過制定評分標準，先對本市的企業進行評估，評出四個等級，并根據等級給予相應的獎懲，如下表所示：
評估得分 |
|
|
|
|
評定等級 | 不合格 | 合格 | 良好 | 優秀 |
獎勵（萬元） |
|
|
|
|
環保部門對企業評估完成后，隨機抽取了
家企業的評估得分（
分）為樣本，得到如下頻率分布表：
評估得分 |
|
|
|
|
|
|
頻率 |
|
|
|
|
|
|
其中
、
表示模糊不清的兩個數字，但知道樣本評估得分的平均數是
.
（1）現從樣本外的數百個企業評估得分中隨機抽取
個，若以樣本中頻率為概率，求該家企業的獎勵不少于
萬元的概率；
（2）現從樣本“不合格”、“合格”、“良好”三個等級中，按分層抽樣的方法抽取
家企業，再從這家企業隨機抽取
家，求這兩家企業所獲獎勵之和不少于
萬元的概率.
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