Question

已知數列的首項，，．

（Ⅰ）求的通項公式；

（Ⅱ）證明：對任意的，，；

（Ⅲ）證明：．

Answer 1

解法一：（Ⅰ），，，

又，是以為首項，為公比的等比數列．

，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

=

，原不等式成立．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，對任意的，有

．

取，

則．

原不等式成立．

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）設，

則

，

當時，；當時，，

當時，取得最大值．

原不等式成立．

（Ⅲ）同解法一．