Question

已知圓O：x²+y²=1和定點A（2，1），由圓外一點P（a，b）向圓O引切線PQ，切點為Q，且滿足|PQ|=|PA|
（1）求實數a，b間滿足的等量關系式；
（2）求△OQP面積的最小值；
（3）求||PO|-|PQ||的最大值．

Answer 1

分析：（1）連接OP、OQ，利用切線的性質可得PQ⊥OQ，再利用兩點間的距離公式和勾股定理即可得出|PQ|²=|OP|²-r²=|PA|²；
（2）由于S△OQP=

1

2

|OQ|•|PQ|=

1

2

|PQ|，所以要求△OQP面積的最小值，只要求出|PQ|的最小值即可．
由|PQ|=

|OP|2-|OQ|2

=

a2+b2-1

=

a2+(3-2a)2-1

=

5a2-12a+8

=

5(a- 6 5 )2+ 4 5

，利用二次函數的單調性即可得出；
（3）設O關于直線l：2x+y-3=0的對稱點為O′（m，n），可得

n m ×(-2)=-1 2× m 2 + n 2 -3=0

，即可解出m，n．利用||PO|-|PQ||=||PO′|-|PA||≤|O′A|即可得出．

解答：解：（1）連接OP、OQ，∵Q為切點，∴PQ⊥OQ，
∴|PQ|²=|OP|²-r²=|PA|²，
∴a²+b²-1=（a-2）²+（b-1）²，化為2a+b-3=0．
（2）∵S△OQP=

1

2

|OQ|•|PQ|=

1

2

|PQ|，
∴要求△OQP面積的最小值，只要求出|PQ|的最小值即可．
∵|PQ|=

|OP|2-|OQ|2

=

a2+b2-1

=

a2+(3-2a)2-1

=

5a2-12a+8

=

5(a- 6 5 )2+ 4 5

，
當a=

6

5

時，|PQ|_min=

2 5

5

．所求△OQP的面積最小值為

5

5

．
（3）設O關于直線l：2x+y-3=0的對稱點為O′（m，n），
則

n m ×(-2)=-1 2× m 2 + n 2 -3=0

，解得

m= 12 5 n= 6 5

．
∴||PO|-|PQ||=||PO′|-|PA||≤|O′A|=

( 12 5 -2)2+( 6 5 -1)2

=

5

5

．
故||PO|-|PA||的最大值為

5

5

．

點評：熟練掌握圓的切線的性質、兩點間的距離公式、勾股定理、三角形的面積計算公式、二次函數的單調性、軸對稱的性質、三角形的三邊關系等是解題的關鍵．