Question

如圖,直三棱柱ABCA′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=,AA′=1,點M,N分別為
A′B和B′C′的中點.

(1)證明:MN∥平面A′ACC′;
(2)求三棱錐A′MNC的體積.(錐體體積公式V=Sh,其中S為底面面積,h為高)

Answer 1

（1）見解析  （2）

解析(1)證明:法一　連接AB′,AC′,如圖所示,由已知∠BAC=90°,AB=AC,三棱柱ABCA′B′C′為直三棱柱,
所以M為AB′的中點.

又因為N為B′C′的中點,
所以MN∥AC′.
又MN?平面A′ACC′,AC′?平面A′ACC′,
所以MN∥平面A′ACC′.
法二　取A′B′的中點P,連接MP,NP,AB′,如圖所示,
因為M,N分別為AB′與B′C′的中點,
所以MP∥AA′,PN∥A′C′.
所以MP∥平面A′ACC′,PN∥平面A′ACC′.
又MP∩NP=P,所以平面MPN∥平面A′ACC′.
而MN?平面MPN,所以MN∥平面A′ACC′.
(2)解:連接BN,如圖所示,
由題意知A′N⊥B′C′,平面A′B′C′∩平面B′BCC′=B′C′,
所以A′N⊥平面NBC.
又A′N=B′C′=1,
故====.