Question

【題目】已知點A（0，4），拋物線C：x2＝2py（0＜p＜4）的準線為1，點P在C上，作PH⊥l于H，且|PH|＝|PA|，∠APH＝120°，則拋物線方程為_____.

Answer 1

【答案】

【解析】

設拋物線的焦點為F（），則|AF|＝4，由拋物線的定義可知，|PH|＝|PF|＝|PA|，不妨設點P在第一象限，過點P作PQ⊥y軸于點Q，則Q為AF的中點，結合∠APH＝120°，可以用p表示出點P的坐標，然后將其代入拋物線方程，列出關于p的方程，解之可得p的值，從而求得拋物線的方程.

解：設拋物線的焦點為F（），|AF|＝4，由拋物線的定義可知，|PH|＝|PF|，

∵|PH|＝|PA|，∴|PA|＝|PF|，

不妨設點P在第一象限，過點P作PQ⊥y軸于點Q，則Q為AF的中點，|AQ|＝|FQ||AF|，

∵∠APH＝120°，∴∠APQ＝120°﹣90°＝30°，∴|PQ|，|OQ|＝|FQ|+|OF|2，

∴點P的坐標為，

∵點P在拋物線C上，∴，化簡得5p2+112p﹣192＝0，解之得（舍負），

∴拋物線方程為.

故答案為：.