Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數極值點的個數；

（2）當時，不等式在上恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）求出導函數，分和兩種情況討論，判斷導函數的符號，判斷函數的單調性，求解函數的極值即可；

（2）當時，由題即在上恒成立，令且，對分和兩種情況討論，判斷函數的單調性求解函數的最值，推出結果.求解的取值范圍.

（1），.

①當時，，所以在上單調遞增，無極值；

②當時，令，得.

當時，；當時，.

所以，函數在上單調遞減，在上單調遞增，

此時，函數只有一個極值點.

綜上所述，當時，函數在上無極值點；

當時，函數在上只有一個極值點；

（2）當時，由題即在上恒成立，

令且，

則，

令，

則且.

（ⅰ）當時，即時，

由于，，而，

所以，故函數在上單調遞增，所以，

即，故函數在上單調遞增，所以，

即在上恒成立，故符合題意；

（ⅱ）當時，即時，

由于在上單調遞增，

令，因為，

故在上存在唯一的，使，

因此，當時，，此時函數單調遞減，所以，

即，函數在上單調遞減，故，與題意不符.

綜上所述，的取值范圍是.