Question

如圖，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱長都等于2，∠ABC=60°，平面AA₁CC₁⊥平面ABCD，∠A₁AC=60°
（1）求二面角D-A₁A-C的大小．
（2）求點B₁到平面A₁ADD₁的距離
（3）在直線CC₁上是否存在P點，使BP∥平面DA₁C₁，若存在，求出點P的位置；若不存在，說出理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)BD與AC交于O，作OK⊥AA₁于K，連接DK，則DK⊥AA₁，OD⊥OK，故∠DKO為二面角D-A₁A-C的平面角，從而可求二面角D-A₁A-C的大小．
（2）連結(jié)A₁O、A₁B，由于B₁B∥平面A₁A DD₁，所以B、B₁到平面A₁A DD₁的距離相等，由VB-A1DA=VA1-ABD，可求點B₁到平面A₁ADD₁的距離；
（3）存在，點P在C₁C的延長線上且CP=C₁C，利用線面平行的判定定理，可得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)BD與AC交于O，作OK⊥AA₁于K，連接DK，則DK⊥AA₁，OD⊥OK，
故∠DKO為二面角D-A₁A-C的平面角，
∵∠OAK=60°，∴OK=

3

2

在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°
∴AC=AB=BC=2
∴AO=1，DO=

AB2-AO2

=

3

∴tan∠DKO=2，
∴二面角D-A₁A-C的平面角的余弦值是

5

5

∴二面角D-A₁A-C的大小為arccos

5

5

；
（2）連結(jié)A₁O、A₁B，由于B₁B∥平面A₁A DD₁，所以B、B₁到平面A₁A DD₁的距離相等，
設(shè)點B到平面A₁A DD₁的距離等于h．
在△AA₁O中，A1O2=A1A2+AO2-2A1A•AOcos60°=3
∴A1O2+AO2=A1A2
∴A₁O⊥AO
而平面A A₁C₁C⊥平面ABCD，∴A₁O⊥平面ABCD
由上述第（1）問有，ED⊥A₁A₁且ED=

EO2+DO2

=

15

2

∴S△A1DA=

1

2

A1A•ED=

1

2

×2×

15

2

=

15

2

又S△ABD=

1

2

AO•BD=

1

2

×1×2

3

=

3

由VB-A1DA=VA1-ABD有

1

3

S△A1DA•h=

1

3

S△ABD•A1O
∴h=

S△ABD

S△A1DA

•A1O=

3

15 2

×

3

=

2 15

5

即點B₁到平面A₁ADD₁的距離d=

2 15

5

（3）存在，點P在C₁C的延長線上且CP=C₁C，證明如下：
延長C₁C到P使CP=C₁C，連接B₁C，BP，則BP∥B₁C
∴BP∥A₁D
又A₁D 平面?DA₁C₁，BP?平面DA₁C₁，
∴BP∥平面DA₁C₁．

點評：本題主要考查了二面角及其度量，考查空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．