Question

如圖四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD為正方形，側(cè)棱與底邊長均為a，且∠A₁AD=∠A₁AB=60°．
①求證四棱錐A₁-ABCD為正四棱錐；
②求側(cè)面A₁ABB₁與截面B₁BDD₁的銳二面角大小．

Answer 1

分析：（1）欲證四棱錐A₁-ABCD是正四棱錐，設(shè)A₁在底面ABCD的射影為O，即證O是底面正方形ABCD的中心即可，而O是Rt△ABD的外心，因?yàn)镽t△ABD的外心是斜邊BD的中點(diǎn)，該中點(diǎn)就是正方形的中心；
（2）取AA₁的中點(diǎn)M，根據(jù)定義可知∠MBD是所求二面角的平面角，然后在三角形MBD中求解此角即可．

解答：解：（1）由AA₁=AD=AB，及∠A₁AD=∠A₁AB=60°?△A₁AD、△AA₁B都是正三角形，
從而AA₁=A₁D=A₁B，設(shè)A₁在底面ABCD的射影為O，則由斜線長相等推出射影長也相等，
所以O(shè)是Rt△ABD的外心，因?yàn)镽t△ABD的外心是斜邊BD的中點(diǎn)，
所以O(shè)是底面正方形ABCD的中心．所以四棱錐A₁-ABCD是正四棱錐．

（2）由DB⊥平面AA₁O?截面BB₁D₁D⊥平面AA₁O?點(diǎn)O與側(cè)棱AA₁的距離d等于AA₁和截面BB₁D₁D之間的距離．
取AA₁的中點(diǎn)M，則OM∥A₁C，且OM⊥AA₁，OM=

1

2

A₁C=

1

2

a，
∴所求距離為

1

2

a．注意到所求二面角的棱是B₁B，
由M是AA₁的中點(diǎn)?MB⊥AA₁，B₁B∥AA₁?MB⊥B₁B，又DB⊥AA₁，AA₁∥B₁B?DB⊥B₁B，
∴∠MBD是所求二面角的平面角．不妨設(shè)AB=a=2，則BD=2

2

，MB=MD=

3

，
∴tan∠MBD=

2

2

．
∴側(cè)面A₁ABB₁與截面B₁BDD₁的夾角為arctan

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查二面角及其度量，以及棱錐的結(jié)構(gòu)特征等知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．