Question

（本小題滿分13分）已知曲線，從上的點作軸的垂線，交于點，再從點作軸的垂線，交于點，設．

（1）求數列的通項公式；[來源:學|科|網Z|X|X|K]

（2）記，數列的前項和為，求證：；

（3）若已知，記數列的前項和為，數列的前項和為，試比較與的大小．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）依題意點的坐標為， 

（2），所以：，…（5分）

當時，，

，

（當時取“”）．…（8分）

（3），，

由知

， 而，所以可得．

于是

．     …10分

當時 ；

當時，

當時，          

下面證明：當時，

證法一：（利用組合恒等式放縮）

當時，  ∴當時，     ……13分

證法二：（數學歸納法）證明略

證法三：（函數法）∵時，

構造函數，

∴當時，

∴在區間是減函數，

∴當時，

∴在區間是減函數，

∴當時，

從而時，，即∴當時，

 

【解析】略