Question

設A，B分別為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且直線x=4是它的右準線．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設P為橢圓右準線上不同于點（4，0）的任意一點，若直線BP于橢圓相交于兩點B，N，求證：∠NAP為銳角．

Answer 1

分析：（I）利用已知和a，b，c的關系即可得出；
（II）由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0），設N（x₀，y₀），由于N點在橢圓上，可得

y

2 0

=

3

4

(4-

x

2 0

)，
又N點異于頂點A、B，得出-2＜x₀＜2，y₀≠0．由P、B、N三點共線可得點P的坐標，只要證明

AN

•

AP

＞0即可．

解答：解：（Ⅰ）依題意得

a=2c a2 c =4

，解得

a=2 c=1

，
從而b=

a2-c2

=

3

．
故橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0），設N（x₀，y₀），
∵N點在橢圓上，∴

y

2 0

=

3

4

(4-

x

2 0

)①
又N點異于頂點A、B，∴-2＜x₀＜2，y₀≠0
由P、B、N三點共線可得P(4，

2y0

x0-2

)，
從而

AN

=(x0+2，y0)，

AP

=(6，

2y0

x0-2

)．

AN

•

AP

=6x0+12+

2 y 2 0

x0-2

②

AN

•

AP

=6x0+12-

3

2

(2+x0)=

9

2

(x0+2)．
∵x₀+2＞0，y₀≠0，∴

AN

•

AP

＞0
于是∠NAP為銳角．

點評：熟練掌握橢圓的標準方程及其性質、三點共線斜率相等、向量夾角為銳角與數量積的關系等是解題的關鍵．