Question

（2009•孝感模擬）設A，B分別為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且x=為它的右準線．
（1）求橢圓的方程；
（2）設P為橢圓上不同于A，的一個動點，直線PA，P與橢圓右準線相交于M，兩點，證明：MN為直徑的圓必過橢圓外的一個定點．

Answer 1

分析：（1）根據題意：“橢圓長半軸的長等于焦距，且x=4為它的右準線”可求得a和c的關系，進而根據準線方程求得a和c，則b可得，進而求得橢圓的方程．
（2）根據（1）中的橢圓方程可求得A，B的坐標，利用參數設出點P的坐標，由A、P、M三點共線或B、P、N三點共線可以求得點M，N的坐標，進而表示出 以MN為直徑的圓的方程，從而得出以MN為直徑的圓必過橢圓外的一個定點．

解答：解：（1）由題意，知a=2c，

a2

c

=4，解得a=2，c=1，∴b=

3

，故橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1 …（5分）
（2）設P（2cosθ，

3

sinθ），M（4，m），N（4，n），則A（-2，0），B（2，0），
由A、P、M三點共線，得m=

3 3 sinθ

1+cosθ

     …（7分）
由B、P、N三點共線，得n=

3 sinθ

cosθ-1

，…（9分）
以MN為直徑的圓的方程為（x-4）（x-4）+（y-

3 3 sinθ

1+cosθ

）（y-

3 sinθ

cosθ-1

）=0，
整理得：（x-4）²+y²-（

3 3 sinθ

1+cosθ

+

3 sinθ

cosθ-1

）y-9=0      …（12分）
解

(x-4)2+y2-9=0 y=0

得

x=1 y=0

（舍去）或

x=7 y=0

∴MN為直徑的圓必過橢圓外的一個定點（7，0），命題成立．…（13分）
【由對稱性先猜出在x軸上存在符合要求的定點，再求出該點，結果正確的，給（13分）．】

點評：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力．