Question

給出定義：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m為整數），則m叫做離實數x最近的整數，記作{x}=m．在此基礎上給出下列關于函數f（x）=|x-{x}|的四個命題：
①函數y=f（x）的定義域為R，值域為[0，

1

2

]；
②函數y=f（x）的圖象關于直線x=

k

2

（k∈Z）對稱；
③函數y=f（x）是周期函數，最小正周期為1；
④函數y=f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上是增函數．
其中正確的命題的序號是（　　）

• A、①
• B、②③
• C、①②③
• D、①④

Answer 1

分析：根據讓函數解析式有意義的原則確定函數的定義域，然后根據解析式易用分析法求出函數的值域；根據f（k-x）與f（-x）的關系，可以判斷函數y=f（x）的圖象是否關于直線x=

k

2

（k∈Z）對稱；再判斷f（x+1）=f（x）是否成立，可以判斷③的正誤；而由①的結論，易判斷函數y=f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上的單調性，但要說明④不成立，我們可以舉出一個反例．

解答：①中，令x=m+a，a∈（-

1

2

，

1

2

]
∴f（x）=|x-{x}|=|a|∈[0，

1

2

]
所以①正確；
②中∵f（k-x）=|（k-x）-{k-x}|=|（-x）-{-x}|=f（-x）
所以關于x=

k

2

對稱，故②正確；
③中，∵f（x+1）=|（x+1）-{x+1}|=|x-{x}|=f（x）
所以周期為1，故③正確；
④中，x=-

1

2

時，m=-1，
f（-

1

2

）=

1

2

x=

1

2

時，m=0，
f（

1

2

）=

1

2

所以f（-

1

2

）=f（

1

2

）
所以④錯誤．
故選C

點評：本題考查的知識點是利用函數的三要素、性質判斷命題的真假，我們要根據定義中給出的函數，結合求定義域、值域的方法，及對稱性、周期性和單調性的證明方法，對4個結論進行驗證．