Question

【題目】如下圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，點(diǎn)在棱上，且.

（1）證明：；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得二面角的余弦值為？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在，

【解析】

（1）因?yàn)槠矫?/span>平面，，所以 ，所以平面，故 ，根據(jù)勾股定理得： ，又因?yàn)?/span> ，所以根據(jù)勾股定理逆定理得： ，故，平面，故：

（2）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)向量法即可得出的值.

（1）證明：過(guò)點(diǎn)作交于，

∵，，，

∴四邊形為正方形，且，，

在中，，在中，，

∴，即.

又∵平面平面，平面平面，，平面， .

∴平面，又因?yàn)?/span>面 ∴.

又∵，面，面 ∴平面，又∵平面，∴.

（2）解：由（1）知平面，∴，，又∵，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

∴，，，，，，.

假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得二面角的余弦值為，則，

因?yàn)辄c(diǎn)在棱上，∴.

設(shè)，由，得，

∴，則，

∵平面，∴平面的一個(gè)法向量為.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

由，所以 ，令 ，則

故平面的一個(gè)法向量為.

∴，

解得，

∴存在實(shí)數(shù)，使得二面角的余弦值為.