Question

【題目】設圓的圓心在軸的正半軸上，與軸相交于點，且直線被圓截得的弦長為.

（1）求圓的標準方程；

（2）設直線與圓交于兩點，那么以為直徑的圓能否經過原點，若能，請求出直線的方程；若不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）能，或.

【解析】

（1）設圓心，，半徑為，由垂徑定理列關于與的方程，結合點在圓上聯立求得與的值，則圓的方程可求；

（2）設，，，是直線與圓的交點，聯立直線方程與圓的方程，化為關于的一元二次方程，利用根與系數的關系結合中點坐標公式可得的中點的坐標，假如以為直徑的圓過原點，則，由此列式求解值，則直線的方程可求．

（1）設圓心，半徑為，由垂徑定理得

且

解得，

∴圓的方程為 ；

（2）設是直線與圓的交點，

將代入圓的方程得：

∴，

∴的中點為.

以為直徑的圓能過原點，則，

∵圓心到直線的距離為，

∴.

∴，解得 ，

經檢驗時，直線與圓均相交，

∴的方程為或.