Question

【題目】已知直線：，半徑為2的圓與相切，圓心在軸上且在直線的右上方.

（1）求圓的方程；

（2）過點的直線與圓交于，兩點（在軸上方），問在軸正半軸上是否存在定點，使得軸平分？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，

【解析】

（1）設出圓心坐標，根據直線與圓相切，得到圓心到直線的距離，確定出圓心坐標，即可得出圓方程；

（2）當直線軸，則軸平分，當直線斜率存在時，設直線方程為，聯立圓與直線方程，消去得到關于的一元二次方程，利用韋達定理表示出兩根之和與兩根之積，由若軸平分，則，求出的值，確定出此時坐標即可.

（1）設圓心，

∵直線：，半徑為2的圓與相切，

∴，即，

解得：或（舍去），

則圓方程為；

（2）當直線軸，則軸必平分，

此時可以為軸上任一點，

當直線與軸不垂直時，

設直線的方程為，，，，

由得，經檢驗，

∴，，

若軸平分，設為，

則，即，

整理得：，即，

解得：，

綜上，當點，使得軸平分.