Question

已知函數，當時函數取得一個極值，其中．

（Ⅰ）求與的關系式；

（Ⅱ）求的單調區間；

（Ⅲ）當時，函數的圖象上任意一點的切線的斜率恒大于，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）當時，在上單調遞減，（8　分）

在上單調遞增，在上單調遞減；

(3)

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）， （　1分）

∵　是函數的一個極值點，

∴　，即， （　3分）

則； （　4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

＝，

∵　，

∴　 （5　分）

當變化時，的變化情況如下表：

				1
	－	0	＋	0	－
	↘	極小值	↗	極大值	↘

由上表知，當時，在上單調遞減，（8　分）

在上單調遞增，在上單調遞減；

（Ⅲ）由已知得，即， （　9分）

∵　，　∴　，

設，其圖象開口向上，

由題意知當時，恒成立， （　11分）

則，即，

解之得． （13　分）

又，∴　，

故的取值范圍為． （　14分）

考點：導數的運用

點評：本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用，求解極值，以及函數的切線方程的運用，基礎題。