Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，左右頂點(diǎn)分別為，，右焦點(diǎn)為，為橢圓上異于，的動(dòng)點(diǎn)，且面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交軸與點(diǎn)，試探究是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在.

【解析】

（1）由當(dāng)在軸時(shí)，面積最大，得，然后結(jié)合求解即可；

（2）先設(shè)，求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，然后求出以為直徑的圓的方程，再結(jié)合在橢圓上，代入方程整理得圓的方程為，然后令，求解即可.

解：（1）由題意知，當(dāng)在軸時(shí)，面積最大，

所以①，

又②，

聯(lián)立①②，得，，，

所以橢圓的方程為.

（2）設(shè)，其中，則，，

所以直線的方程為，

令，得，即，

又，所以直線的方程為，

令，得，即，

所以，以為直徑的圓的方程為：

，

又，

且在橢圓上，

所以，

代入方程整理得圓的方程為

，

令，

則，

所以存在點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過點(diǎn).