Question

如圖所示，⊙O內切△ABC的邊于D、E、F，AB＝AC，連接AD交⊙O于點H，直線HF交BC的延長線于點G．求證：

(1)圓心O在直線AD上；
(2)點C是線段GD的中點．

Answer 1

（1）見解析   （2）見解析

證明：(1)∵AB＝AC，AF＝AE，∴CF＝BE．
又∵CF＝CD，BD＝BE，
∴CD＝BD．
∴AD是∠CAB的平分線．
∴內切圓圓心O在直線AD上．

(2)連接DF，由(1)知，DH是⊙O的直徑，
∴∠DFH＝90°，
∴∠FDH＋∠FHD＝90°．
由題易知∠G＋∠FHD＝90°，
∴∠FDH＝∠G．
∵⊙O與AC相切于點F，
∴∠AFH＝∠GFC＝∠FDH，
∴∠GFC＝∠G．∴CG＝CF＝CD，
∴點C是線段GD的中點．