Question

（本題滿分16分）圍建一個面積為360m²的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用的舊墻需維修），其他三面圍墻要新建，在舊墻對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，如圖所示已知舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m，設利用的舊墻長度為x（單位：m），修建此矩形場地圍墻的總費用為y（單位：元）

⑴將y表示為x的函數；

⑵寫出f(x)的單調區間，并證明；

⑶根據⑵，試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用。

Answer 1

解：⑴如圖，設矩形的另一邊長為a m

         則y=45x+180(x－2)+180×2a=225x+360a－360

         由已知  ax=360a=

       ∴y=225x+－360(x>0)   ……………………………………………6′

       ⑵任取x₁>x₂>0

          y₁－y₂=225(x₁－x₂)+

               =(x₁－x₂)( 225－)      ……………………………………10′

            ∴x₁x₂>()²=24²時，  y₁>y₂

                     x₁x₂<24   時，  y₁y₂  

                  ∴x₁>x₂≥24時

              y₁>y₂       24> x₁>x₂>0時

              y₁<y₂

        即f(x)在（0，24）單調減，在（24，+∞）單調增   …………………14′

       ⑶x=24時，修建圍墻的總費用最小，最小費用為10440元…………………16′