Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，試討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（3）在（2）的條件下，若有兩個(gè)零點(diǎn)，，求證：.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；(2) 當(dāng)時(shí)，恰有一個(gè)零點(diǎn)：當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；(3)見(jiàn)解析

【解析】

（1）求導(dǎo)后，分別在和兩種情況下討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)最大值為，分別在，，三種情況下，結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷出零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）根據(jù)零點(diǎn)的定義可求得，令，，可將整理為；令，，可求得，結(jié)合即可證得結(jié)論.

（1）由題意得：

當(dāng)時(shí)，在上恒成立

則在上單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，若，，；若，

即在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減

綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減

（2）當(dāng)時(shí)，，則

令，解得：

當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增

①當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，恰有一個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)，即時(shí)，恒成立，沒(méi)有零點(diǎn)：

③當(dāng)，即時(shí)，，，

， 有兩個(gè)零點(diǎn)

綜上：當(dāng)時(shí)，恰有一個(gè)零點(diǎn)：當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)

（3）證明：

由題意知：，即

記，，則，故

，

記函數(shù)，

則 在上單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，

由（2）知，

又