Question

關于函數f(x)=

1

tan2x+cot2x

，有下列命題：①周期是

π

2

；②y=f（x）的圖象關于直線x=-

π

8

對稱；③y=f（x）的圖象關于點（

π

4

，0）對稱；④在區間[-

π

8

，

π

8

]上單調遞減．其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：利用角三角函數的基本關系，以及二倍角公式，把 函數f（x） 的解析式化為

1

2

 sin4x，根據正弦函數的周期性、
對稱性、單調性，判斷各個選項的正確性．

解答：解：函數f（x）=

1

tan2x+cot2x

=

1

sin2x cos2x + cos2x sin2x

=sin2xcos2x=

1

2

 sin4x．
函數的周期為

2π

4

=

π

2

，故①正確．
又因為 x=-

π

8

時，函數f（x）取得最小值-

1

2

，故y=f（x）的圖象關于直線x=-

π

8

對稱，故②正確．
當x=

π

4

 時，y=f（x）=0，故點（

π

4

，0）是函數圖象與x軸的交點，故；③y=f（x）的圖象關于點（

π

4

，0）對稱正確
當 x∈[-

π

8

，

π

8

] 時，-

π

2

≤4x≤

π

2

，

1

2

 sin4x 是增函數，故④不正確．
故答案為：①②③．

點評：本題考查同角三角函數的基本關系，以及二倍角公式的應用，正弦函數的周期性、對稱性、單調性，把 函數f（x） 的解析式化為

1

2

 sin4x，是解題的關鍵．