Question

關于函數f(x)=1-

1

2

cos2x-(

1

2

)|x|，有下面四個結論：①f（x）是偶函數；②當x＞2010時，f(x)＞

1

2

恒成立；③f（x）的最大值是

3

2

；④f（x）的最小值是-

1

2

．其中正確結論的序號是______．

Answer 1

y=f（x）的定義域為x∈R，且f（-x）=f（x），則函數f（x）為偶函數，因此結論①正確．
對于結論②，取特殊值當x=1000π時，x＞2010，

1

2

cos2x=

1

2

，且（

1

2

）^1000π＞0
∴f（1000π）=

1

2

-（

1

2

）^1000π＜

1

2

，因此結論②錯．
又f(x)=1-

1

2

cos2x-(

1

2

)|x|，-1≤cos2x≤1，
∴-

1

2

≤1-

1

2

cos2x≤

3

2

，（

1

2

）^|x|＞0
故1-

1

2

cos2x-（

1

2

）^|x|＜

3

2

，即結論③錯．
而cos2x，（

1

2

）^|x|在x=0時同時取得最大值，
所以f（x）=1-

1

2

cos2x-（

1

2

）^|x|在x=0時可取得最小值-

1

2

，即結論④是正確的．
故答案為：①④