Question

（2012•上海二模）設雙曲線

x2

4

-y²=1的右焦點為F，點P₁、P₂、…、P_n是其右上方一段（2≤x≤2

5

，y≥0）上的點，線段|P_kF|的長度為a_k，（k=1，2，3，…，n）．若數列{a_n}成等差數列且公差d∈（

1

5

，

5

5

），則n最大取值為

14

．

Answer 1

分析：根據雙曲線的第二定義，可得|P_kF|的長度a_k=

5

2

x_k-2，結合題意2≤x_k≤2

5

得n取最大值時d=

5- 5

n-1

，再解不等式

1

5

＜

5- 5

n-1

＜

5

5

，找出它的最大整數解，即得n的最大值．

解答：解：由題意，得a²=4，b²=1，c=

a2+b2

=

5

，可得 雙曲線 的右準線為：x=

a2

c

，即x=

4 5

5

設P_k坐標為（x_k，y_k），P_k到右準線的距離為d_k（k=1，2，3，…，n），
根據雙曲線的第二定義，得

|PkF|

dk

=e=

5

2

，
∴|P_kF|=

5

2

d_k=

5

2

（x_k-

4 5

5

）=

5

2

x_k-2
∵|P_kF|的長度為a_k，∴a_k=

5

2

x_k-2
∵數列{a_n}成等差數列，且公差d∈（

1

5

，

5

5

），
∴

an-a1

n-1

=

5 2 (xn-x1)

n-1

∈（

1

5

，

5

5

），
∵2≤x_k≤2

5

，（k=1，2，3，…，n），公差d是正數
∴0＜x_n-x₁≤2

5

-2，得n取最大值時d=

5 2 (2 5 -2)

n-1

=

5- 5

n-1

∴

1

5

＜

5- 5

n-1

＜

5

5

，解之得5

5

-4＜n＜26-5

5

因為26-5

5

≈14.82，所以滿足條件的最大整數n=14
故答案為：14

點評：本題以雙曲線為載體，在它的n條焦半徑成等差數列并知道公差范圍的情況下，求項數n的最大值，著重考查了雙曲線的簡單幾何性質和等差數列的通項公式等知識，屬于中檔題．