Question

【題目】已知數列滿足， ，其中， ， 為非零常數.

（1）若， ，求證： 為等比數列，并求數列的通項公式；

（2）若數列是公差不等于零的等差數列.

①求實數， 的值；

②數列的前項和構成數列，從中取不同的四項按從小到大排列組成四項子數列.試問：是否存在首項為的四項子數列，使得該子數列中的所有項之和恰好為2017？若存在，求出所有滿足條件的四項子數列；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）①， ， .②， ，

【解析】試題分析：（1）利用等比數列定義證明，即尋找與比例關系：利用 代入化簡可得.最后說明各項非零.（2）①令，2，3，根據等差數列性質得 ，列出關于， 的二元一次方程組，解得， 的值；再驗證滿足題意. ②先求數列的前項和，再討論四項奇偶性：三個奇數一個偶數、或者一個奇數三個偶數.將奇偶性代入化簡討論，直至確定.

試題解析：解：（1）當， 時， ，

.

又，不然，這與矛盾，

為2為首項，3為公比的等比數列，

， .

（2）①設 ，

由得 ，

，

對任意恒成立.

令，2，3，解得， ， ， .

經檢驗，滿足題意.

綜上， ， ， .

②由①知.

設存在這樣滿足條件的四元子列，觀察到2017為奇數，這四項或者三個奇數一個偶數、或者一個奇數三個偶數.

1°若三個奇數一個偶數，設， ， ， 是滿足條件的四項，

則 ，

，這與1007為奇數矛盾，不合題意舍去.

2°若一個奇數三個偶數，設， ， ， 是滿足條件的四項，

則 ， .

由504為偶數知， ， ， 中一個偶數兩個奇數或者三個偶數.

1）若， ， 中一個偶數兩個奇數，不妨設， ， ，

則 ，這與251為奇數矛盾.

2）若， ， 均為偶數，不妨設， ， ，

則，繼續奇偶分析知， ， 中兩奇數一個偶數，

不妨設， ， ，則 .

因為， 均為偶數，所以為奇數，不妨設，

當時， ， ，檢驗得， ， ，

當時， ， ，檢驗得， ， ，

當時， ， ，檢驗得， ， ，

即， ， ， 或者， ， ， 或者， ， ， 滿足條件，

綜上所述， ， ， 為全部滿足條件的四元子列.