Question

(本題14分)已知為實數，函數．

（I）若函數的圖象上有與軸平行的切線，求的取值范圍；

（II）若，

（ⅰ） 求函數的單調區間；

（ⅱ） 證明對任意的，不等式恒成立。

 

Answer 1

【答案】

（I）實數的取值范圍是

（ⅰ）函數的單調增區間為，；

單調減區間為．

（ⅱ）任意的，恒有．

【解析】解：(Ⅰ) ∵，∴．……………2分

∵函數的圖象上有與軸平行的切線，∴有實數解．

∴，…………………4分    

∴．因此，所求實數的取值范圍是．……6分

(Ⅱ) (ⅰ)∵，∴，即．

∴．

由，得或；  由，得．

因此，函數的單調增區間為，；

單調減區間為．………………………10分

(ⅱ)由(ⅰ)的結論可知，

在上的最大值為，最小值為；

在上的的最大值為，最小值為．

∴在上的的最大值為，最小值為．

因此，任意的，恒有．………14分