Question

【題目】已知拋物線(xiàn)C：y2=2px過(guò)點(diǎn)P（1，1）.過(guò)點(diǎn)（0， ）作直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線(xiàn)分別與直線(xiàn)OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn).

（Ⅰ）求拋物線(xiàn)C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程；

（Ⅱ）求證：A為線(xiàn)段BM的中點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）方程為.焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），準(zhǔn)線(xiàn)方程為.（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）代入點(diǎn)求得拋物線(xiàn)的方程，根據(jù)方程表示焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l的方程為（），與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，再由根與系數(shù)的關(guān)系，及直線(xiàn)ON的方程為，聯(lián)立求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，再證明.

試題解析：（Ⅰ）由拋物線(xiàn)C： 過(guò)點(diǎn)P（1，1），得.

所以?huà)佄锞�(xiàn)C的方程為.

拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），準(zhǔn)線(xiàn)方程為.

（Ⅱ）由題意，設(shè)直線(xiàn)l的方程為（），l與拋物線(xiàn)C的交點(diǎn)為， .

由，得.

則， .

因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），所以直線(xiàn)OP的方程為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為.

直線(xiàn)ON的方程為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為.

因?yàn)?/span>

，

所以.

故A為線(xiàn)段BM的中點(diǎn).