Question

（本題滿分14分）已知四邊形滿足∥，，是的中點，將沿著翻折成，使面面，為的中點.

（Ⅰ）求四棱錐的體積；（Ⅱ）證明：∥面；
（Ⅲ）求面與面所成二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析（Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）取的中點連接，
因為，所以為等邊三角形，
所以，
又因為面面，所以面，                       ……2分
所以四棱錐的體積              ……5分

（Ⅱ）連接交于，連接，
因為為菱形，所以，
又為的中點，所以∥，
因為,,
所以∥面.                                                  ……9分
（Ⅲ）連接，分別以為軸建立空間直角坐標系.
則
,
                                 ……10分
設面的法向量，則，
令，則.
設面的法向量為，則，
令，則.                                        ……12分
則所以二面角的余弦值為       ……14分
點評：解答立體幾何的證明題，要把定理需要的條件意義列出來，缺一不可；求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.