Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x-4）=-f（x），且x∈[0，2]時(shí)，f（x）=log₂（x+1），甲、乙、丙、丁四位同學(xué)有下列結(jié)論：甲：f（3）=1；乙：函數(shù)f（x）在[-6，-2]上是減函數(shù)；丙：函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=4對(duì)稱；丁：若m∈（0，1），則關(guān)于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上所有根之和為-8，其中正確的是

甲、乙、丁

、

Answer 1

分析：取x=1，得f（3）=-f（1）=1；
根據(jù)已知可得（4，0）點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心；
由f（x-4）=f（-x）得f（x-2）=f（-x-2），即f（x）關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，結(jié)合奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相同，可得f（x）在[-2，2]上為增函數(shù)，利用函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，可得函數(shù)f（x）在[-6，-2]上是減函數(shù)；
若m∈（0，1），則關(guān)于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上有4個(gè)根，其中兩根的和為-6×2=-12，另兩根的和為2×2=4，故可得結(jié)論．

解答：解：取x=1，得f（1-4）=-f（1）=-log₂（1+1）=-1，所以f（3）=-f（1）=1，故甲的結(jié)論正確；
∵f（x-4）=-f（x），則f（x+4）=-f（x），即f（x-4）=f（x+4）
又由f（x）為奇函數(shù)f（x-4）=-f（4-x），即f（x+4）=-f（4-x），即函數(shù)的圖象關(guān)于（4，0）點(diǎn)對(duì)稱，故丙的結(jié)論錯(cuò)誤．
定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x-4）=-f（x），則f（x-4）=f（-x），
∴f（x-2）=f（-x-2），
∴函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，
又∵奇函數(shù)f（x），x∈[0，2]時(shí)，f（x）=log₂（x+1）為增函數(shù)，
∴x∈[-2，2]時(shí)，函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，
∵函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=-2對(duì)稱，
∴函數(shù)f（x）在[-6，-2]上是減函數(shù)，故乙正確；
若m∈（0，1），則關(guān)于x的方程f（x）-m=0在[-8，8]上有4個(gè)根，其中兩根的和為-6×2=-12，另兩根的和為2×2=4，所以所有根之和為-8．故丁正確
故答案為：甲，乙，丁

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．