Question

橢圓C₁的焦點在x軸上，中心是坐標原點O，且與橢圓的離心率相同，長軸長是C₂長軸長的一半．A（3，1）為C₂上一點，OA交C₁于P點，P關于x軸的對稱點為Q點，過A作C₂的兩條互相垂直的動弦AB，AC，分別交C₂于B，C兩點，如圖．

（1）求橢圓C₁的標準方程；
（2）求Q點坐標；
（3）求證：B，Q，C三點共線．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓可知：長軸長為，離心率是，進而得到橢圓C₁的a，b，c．
（2）由點A（3，1）可得直線OA：．與橢圓方程聯立即可得出點P的坐標，再根據對稱性即可得出點Q的坐標；
（3）分AC⊥x軸時，與直線AC的斜率垂直時兩種情況討論．只要證明k_BQ=k_QC即可．
解答：解：（1）由橢圓可知：長軸長為，離心率是，
∴橢圓C₁：，，b²=a²-c²=1，
∴橢圓C₁的標準方程為．
（2）∵A（3，1）可得直線OA：．
聯立解得第一象限P，可得Q．
（3）當AB∥x軸時，AC⊥x軸，可得B（-3，1），C（3，-1）．
∴，，
∴，∴B，Q，C三點共線．
當直線AC存在斜率時，可設直線AC：y-1=k（x-3），化為y=kx+1-3k，
聯立，消去y得到（3k²+1）x²+6k（1-3k）x+9（3k²-2k-1）=0，
得x_C=，y_C=kx_C+1-3k=．
得=．
同理，以代替上式中的k，得k_BQ==，
∴k_CQ=k_BQ，即Q，B，C三點共線，
綜上可知：Q，B，C三點共線．
點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到交點坐標、對稱問題、三點共線問題等基礎知識與基本技能，考查了分類討論的思想方法、推理能力和計算能力．