Question

在棱長為4的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是正方形A₁B₁C₁D₁的中心，點P在棱CC₁上，且CC₁=4CP．
（Ⅰ）求直線AP與平面BCC₁B₁所成的角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；
（Ⅱ）設(shè)O點在平面D₁AP上的射影是H，求證：D₁H⊥AP；
（Ⅲ）求點P到平面ABD₁的距離．

Answer 1

分析：本題宜建立空間坐標系，用空間向量來解決求線面角證線線垂直，求點到面 距離．
（Ⅰ）由題設(shè)條件，連接AC，即可得出AP與平面BCC₁B₁所成的角為∠PAC，求出線的方向向量與面的法向量，用公式求出線面角的正弦．
（Ⅱ）由圖形及題設(shè)條件可以證得AP⊥面D₁OH，由線面垂直證得母線線垂直，求出兩線．
（Ⅲ）用向量法求點到面的距離，求線段對應的向量在面的法向量的投影的長度即可．

解答：解：建立如圖的空間坐標系，由已知D（0，0，0），A（4，0，0），C（0，4，0），
D（0，0，4），B（4，4，0）
（1）如圖，連接PB，由正方體的性質(zhì)知∠APB即為所求的線面角，∵CC₁=4CP∴CP=1，由勾股定理知BP=

17

，
∴tan∠APB=

AB

PB

=

4

17

=

4 17

17

∴∠APB=arctan

4

17

17

（2）證明：由已知OH⊥面APD₁，∴OH⊥AP，
連接B₁D₁，由于O是上底面的中心，故O∈B₁D₁，
由正體的性質(zhì)知B₁D₁⊥面AC₁，
又AP?面AC₁，
∴B₁D₁⊥AP
又B₁D₁∩OH=0
∴AP⊥面D₁OH，
∴D₁H⊥AP
（3）如圖

AB

=（0，4，0），

AD 1

=（-4，0，4）

AP

=（-4，4，1）
令面ABD₁的法向量為

n

=（x，y，z）
故有

AB • n =0 AD 1 • n =0

，即

x-z=0 y=0

令x=1，則z=1，故

n

=（1，0，1）
故點P到面面ABD₁的距離d=

3

2

=

3 2

2

點P到面面ABD₁的距離為

3

2

2

點評：本考點是立體幾何，對三個問題其中前兩個問題用幾何法證明較易，故采用了幾何法，而第三個問題點到面的垂線段不易做出，故采用了向量法求點到面的距離，在做題時應根據(jù)題目的條件靈活選用解題的方法．