Question

如圖，在棱長為4的正方體ABCD-A′B′C′D′中，E、F分別是AD、A′D′的中點，長為2的線段MN的一個端點M在線段EF上運動，另一個端點N在底面A′B′C′D′上運動，則線段MN的中點P的軌跡（曲面）與二面角A-A′D′-B′所圍成的幾何體的體積為（　　）

• A．

  4π

  3

• B．

  2π

  3

• C．

  π

  3

• D．

  π

  6

Answer 1

分析：直接根據條件得到點P的軌跡是以點F為球心、1為半徑的球面，進而求出結論．

解答：解：依題意可知|FP|=

1

2

|MN|=1，
因此點P的軌跡是以點F為球心、1為半徑的球面的

1

4

．
于是所求的體積是

1

4

×（

4

3

π×1³）=

1

3

π．
故選：C．

點評：解決此類問題的關鍵是熟悉結合體的結構特征與球的定義以及其表面積的計算公式．考查空間想象能力，計算能力．