Question

設數列的前項和為，已知，且
，
其中為常數.
(Ⅰ)求與的值；
(Ⅱ)證明：數列為等差數列；
(Ⅲ)證明：不等式對任何正整數都成立.

Answer 1

，.

解：（Ⅰ）由已知，得，，.
由，知
   即
解得   ，.
（Ⅱ）方法1
由（Ⅰ），得 ，            ①
所以        .          ②
②-①，得   ，   ③
所以        .  ④
④-③，得   .
因為        ，
所以        .
又因為      ，
所以        ，
即          ，.
所以數列為等差數列.
方法2
由已知，得，
又，且，
所以數列是唯一確定的，因而數列是唯一確定的.
設，則數列為等差數列，前項和.
于是  ，
由唯一性得  ，即數列為等差數列.
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，.
要證      ，
只要證    .
因為      ，，
故只要證  ，
即只要證  .
因為      

，
所以命題得證.