Question

【題目】如圖，已知， 是橢圓的左右焦點， 為橢圓的上頂點，點在橢圓上，直線與軸的交點為， 為坐標原點，且， ．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作兩條互相垂直的直線分別與橢圓交于， 兩點（異于點），證明：直線過定點，并求該定點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析， .

【解析】試題分析：

（1）由題意可得為的中位線，從而可得，故，且，然后根據和可得， ，由此可得橢圓的方程．（2）分別設出直線直線的方程，解方程組可得點， 的坐標，經分析題意可得定點必在軸上，不妨設該點坐標，然后根據直線的斜率相等建立關于的等式，結合點， 的坐標經計算可得定點坐標．

試題解析：

（1）由題意得，

∴為的中位線，

∴，

∴，

∴，

又， ，

∴， ，

∴橢圓方程為．

（2）設， ，直線： ，

由 消去y整理得，

解得或（舍去）．

∴，

以代替上式中的，可得．

由題意可得，若直線關于軸對稱后得到直線，

則得到的直線與關于軸對稱，

所以若直線經過定點，該定點一定是直線與的交點，故該點必在軸上．

設該點坐標，則有，

∴ ，

將的值代入上式，化簡得，

∴直線經過定點．